这是数形结合的第四期了，前面几期我们分别讲了：数和形各有什么长处：《数形结合(一)：数有数的效率形有形的直观》同一道题目，写成（代）数是什么样子，写成（图）形又是什么样子：《数形结合(二)：求梯形阴影面积和鸡兔同笼是一道题，你信么？》数的题，怎样用形的方法来做：《数形结合(三)：好的解题方法 懒得用一句废话》那么按照我的强迫症，这一期一定是写，形的题，用数的方法怎么做？其实形的问题用数的方法来解决是很普遍的，像第一期里见过的例题： 一个直三角形的两条直角边相差5厘米，斜边长为20厘米，求这个直角三角形的面积。 最普遍的解法是设一条边长为x，根据勾股定理算出x，就可以算面积。不过还有一些题目，题面上看起来，和数没什么关系，比如： 用没有刻度的直尺和圆规，把任意的一个角三等分。 哦，不好意思拿错了，应该是这道： 一个由8×8的正方形组成的格子图形，左上角和右下角各少了一个格子（下图左），用下图右这样的长方形，能不能正好把它盖住。 这就好像分配土地的时候，要考虑分割后的地块不仅面积相等，而且还要尽可能是便于利用的整块。要解决这个问题，我们可以引入整数系： 小长方形是一个奇数和一个偶数的组合，而大图中，偶数的数量要多于奇数，所以小长方形不可能正好盖住大图。如果按照奇偶性，把格子涂上色，就看得更清楚了。一个长方形只能盖住一个白格和一个黑格，因为少掉的两个格子都是白格，所以长方形不可能正好盖住大图。 再回到我们刚才不小心拿错的题。尺规作图三等分角，是从古希腊流传下来的三大数学难题之一，困扰了人们两千多年。直到人们把这它转化成数的题目，才把它搞明白。按照尺规作图的限定，尺规作图相当于做加、减、乘、除和开方的运算，而三等分角的解，不能由上面的这些计算得出。就好比一块猪肉，无论你把它怎样煎炒烹炸，它都还是猪肉，不会变成羊肉。所以尺规作图可以十七等分圆，却不能三等分任意角。虽然尺规作图三等分任意角是不可能的，但是如果把尺规作图的条件放宽一点，比如允许在直尺上加上刻度，就可以轻易的做出三等分角。又或者，允许无限次作图的话： 因为1/3=1/2-1/4+1/8-1/16+…，所以无限次的作角平分线，就可以三等分角。更多数学学习的文章，请关注微信公众号【怎样学数学】。微信搜索【howtolearnmath】，即可关注。